由于大一学习的线性代数现在已经忘记得差不多了😥,因此在这里记录一下矩阵的常用知识,为以后更复杂的数学运算打下基础。

Hermitian矩阵与矩阵的二次型

Hermitian矩阵就是我们常说的复共轭对称矩阵,它是满足AH=AA^H=A的正方复矩阵。

任意一个正方对称矩阵A的二次型定义为xHAxx^HAx,其中x可以是任意的非零复向量。(需注意,这里A必须为实对称矩阵或复共轭对称矩阵,,为了保证定义的唯一性
从这里又延申出了以下定义:

一句话小结,矩阵的二次型刻画矩阵的正定性

行列式

一个n*n正方矩阵A的行列式记作det(A)det(A),A去掉第i行和第j列的剩余行列式记作AijA_{ij},称为元素aija_{ij}的余子式,从这里我们引出了行列式的计算公式:
det(A)=ai1Ai1+......+ainAin=i=1naij(1)i+jdet(Aij)det(A) = a_{i1}A_{i1}+......+a_{in}A_{in} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}det(A_{ij})(即通过递推的方法计算)
关于行列式有以下几点说明:

  1. 行列式不等于0的矩阵称为非奇异矩阵。
  2. 单位矩阵的行列式等于1.
  3. 任何一个正方矩阵A和它的转置矩阵具有相同的行列式。
  4. 两个矩阵乘积的行列式等于它们的行列式的乘积。

一句话小结,矩阵的行列式主要刻画矩阵的奇异性。

矩阵的特征值

A为n*n的方阵,若线性代数方程: Au = λu\lambda*u具有n*1非零向量解u,则标量λ\lambda称为矩阵A的一个特征值,u称为A对应于λ\lambda的特征向量。

这里特征值可以这样理解,英文叫做eigenvalue,词头Eigen有本征、固有的意思,因此eigenvalue表示矩阵A在不改变某些向量固有方向的基础上,对向量只进行长度λ\lambda倍的变换,因此λ\lambda就是矩阵A能将这些向量进行保留“本征”变换的倍数值。

通过特征值的定义,我们也可以将它和矩阵的奇异性、正定性和对角线元素结构联系起来,反映了矩阵的一些重要特征。

一句话小结,矩阵的特征值既刻画原矩阵的奇异性,又反映原矩阵所有对角元素的结构,还刻画矩阵的正定性。

矩阵的迹

n*n矩阵A的对角元素之和称为A的迹,记作tr(A)tr(A)。(非正方矩阵无迹的定义)

这里有如下重要结论:
矩阵的迹等于该矩阵所有特征值之和。

一句话小结,矩阵的迹反映矩阵所有特征值之和。

矩阵的秩

矩阵AmnA_{m*n}的秩定义为该矩阵中线性无关的行或列的数目,记作rank(A)rank(A)

一句话小结,矩阵的秩刻画矩阵行与行之间或者列与列之间的线性无关性,从而反映矩阵的满秩性或秩亏缺性。

本文结束,感谢阅读~~

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